\(\int \frac {\coth ^2(x)}{(a+b \tanh ^2(x))^{3/2}} \, dx\) [245]

Optimal result

Integrand size = 17, antiderivative size = 85 \[ \int \frac {\coth ^2(x)}{\left (a+b \tanh ^2(x)\right )^{3/2}} \, dx=\frac {\text {arctanh}\left (\frac {\sqrt {a+b} \tanh (x)}{\sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}\right )}{(a+b)^{3/2}}+\frac {b \coth (x)}{a (a+b) \sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}-\frac {(a+2 b) \coth (x) \sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}{a^2 (a+b)} \]

[Out]

arctanh((a+b)^(1/2)*tanh(x)/(a+b*tanh(x)^2)^(1/2))/(a+b)^(3/2)+b*coth(x)/a/(a+b)/(a+b*tanh(x)^2)^(1/2)-(a+2*b)
*coth(x)*(a+b*tanh(x)^2)^(1/2)/a^2/(a+b)

Rubi [A] (verified)

Time = 0.12 (sec) , antiderivative size = 85, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 6, number of rules used = 6, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.353, Rules used = {3751, 483, 597, 12, 385, 212} \[ \int \frac {\coth ^2(x)}{\left (a+b \tanh ^2(x)\right )^{3/2}} \, dx=-\frac {(a+2 b) \coth (x) \sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}{a^2 (a+b)}+\frac {\text {arctanh}\left (\frac {\sqrt {a+b} \tanh (x)}{\sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}\right )}{(a+b)^{3/2}}+\frac {b \coth (x)}{a (a+b) \sqrt {a+b \tanh ^2(x)}} \]

[In]

Int[Coth[x]^2/(a + b*Tanh[x]^2)^(3/2),x]

[Out]

ArcTanh[(Sqrt[a + b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]]/(a + b)^(3/2) + (b*Coth[x])/(a*(a + b)*Sqrt[a + b*Tanh[x]
^2]) - ((a + 2*b)*Coth[x]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])/(a^2*(a + b))

Rule 12

Int[(a_)*(u_), x_Symbol] :> Dist[a, Int[u, x], x] /; FreeQ[a, x] &&  !MatchQ[u, (b_)*(v_) /; FreeQ[b, x]]

Rule 212

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]))*ArcTanh[Rt[-b, 2]*(x/Rt[a, 2])], x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rule 385

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Subst[Int[1/(c - (b*c - a*d)*x^n), x]
, x, x/(a + b*x^n)^(1/n)] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[n*p + 1, 0] && IntegerQ[n]

Rule 483

Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*(e*
x)^(m + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*((c + d*x^n)^(q + 1)/(a*e*n*(b*c - a*d)*(p + 1))), x] + Dist[1/(a*n*(b*c - a*d)
*(p + 1)), Int[(e*x)^m*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^q*Simp[c*b*(m + 1) + n*(b*c - a*d)*(p + 1) + d*b*(m + n
*(p + q + 2) + 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[n, 0] && LtQ
[p, -1] && IntBinomialQ[a, b, c, d, e, m, n, p, q, x]

Rule 597

Int[((g_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_)),
x_Symbol] :> Simp[e*(g*x)^(m + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*((c + d*x^n)^(q + 1)/(a*c*g*(m + 1))), x] + Dist[1/(a*c*
g^n*(m + 1)), Int[(g*x)^(m + n)*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q*Simp[a*f*c*(m + 1) - e*(b*c + a*d)*(m + n + 1) - e
*n*(b*c*p + a*d*q) - b*e*d*(m + n*(p + q + 2) + 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, p, q}, x] &&
IGtQ[n, 0] && LtQ[m, -1]

Rule 3751

Int[((d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*((c_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.), x_Symbol]
:> With[{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Dist[c*(ff/f), Subst[Int[(d*ff*(x/c))^m*((a + b*(ff*x)^n)^p/(c^2
+ ff^2*x^2)), x], x, c*(Tan[e + f*x]/ff)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && (IGtQ[p, 0] || EqQ
[n, 2] || EqQ[n, 4] || (IntegerQ[p] && RationalQ[n]))

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \text {Subst}\left (\int \frac {1}{x^2 \left (1-x^2\right ) \left (a+b x^2\right )^{3/2}} \, dx,x,\tanh (x)\right ) \\ & = \frac {b \coth (x)}{a (a+b) \sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}-\frac {\text {Subst}\left (\int \frac {-a-2 b+2 b x^2}{x^2 \left (1-x^2\right ) \sqrt {a+b x^2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )}{a (a+b)} \\ & = \frac {b \coth (x)}{a (a+b) \sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}-\frac {(a+2 b) \coth (x) \sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}{a^2 (a+b)}+\frac {\text {Subst}\left (\int \frac {a^2}{\left (1-x^2\right ) \sqrt {a+b x^2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )}{a^2 (a+b)} \\ & = \frac {b \coth (x)}{a (a+b) \sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}-\frac {(a+2 b) \coth (x) \sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}{a^2 (a+b)}+\frac {\text {Subst}\left (\int \frac {1}{\left (1-x^2\right ) \sqrt {a+b x^2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )}{a+b} \\ & = \frac {b \coth (x)}{a (a+b) \sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}-\frac {(a+2 b) \coth (x) \sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}{a^2 (a+b)}+\frac {\text {Subst}\left (\int \frac {1}{1-(a+b) x^2} \, dx,x,\frac {\tanh (x)}{\sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}\right )}{a+b} \\ & = \frac {\text {arctanh}\left (\frac {\sqrt {a+b} \tanh (x)}{\sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}\right )}{(a+b)^{3/2}}+\frac {b \coth (x)}{a (a+b) \sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}-\frac {(a+2 b) \coth (x) \sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}{a^2 (a+b)} \\ \end{align*}

Mathematica [C] (warning: unable to verify)

Result contains higher order function than in optimal. Order 5 vs. order 3 in optimal.

Time = 8.09 (sec) , antiderivative size = 263, normalized size of antiderivative = 3.09 \[ \int \frac {\coth ^2(x)}{\left (a+b \tanh ^2(x)\right )^{3/2}} \, dx=-\frac {\cosh ^2(x) \coth (x) \left (\frac {8 (a+b) \cosh ^2(x) \, _3F_2\left (2,2,2;1,\frac {7}{2};-\frac {(a+b) \sinh ^2(x)}{a}\right ) \left (i a \tanh (x)+i b \tanh ^3(x)\right )^2}{15 a^3}-\frac {8 (a+b) \operatorname {Hypergeometric2F1}\left (2,2,\frac {7}{2},-\frac {(a+b) \sinh ^2(x)}{a}\right ) \sinh ^2(x) \left (2 a^2+5 a b \tanh ^2(x)+3 b^2 \tanh ^4(x)\right )}{15 a^3}-\frac {\coth ^2(x) \left (3 a^2+12 a b \tanh ^2(x)+8 b^2 \tanh ^4(x)\right ) \left (\arcsin \left (\sqrt {-\frac {(a+b) \sinh ^2(x)}{a}}\right ) \left (-a-b \tanh ^2(x)\right )+a \text {sech}^2(x) \sqrt {-\frac {(a+b) \cosh ^2(x) \sinh ^2(x) \left (a+b \tanh ^2(x)\right )}{a^2}}\right )}{a^2 (a+b) \sqrt {-\frac {(a+b) \cosh ^2(x) \sinh ^2(x) \left (a+b \tanh ^2(x)\right )}{a^2}}}\right )}{a \sqrt {a+b \tanh ^2(x)}} \]

[In]

Integrate[Coth[x]^2/(a + b*Tanh[x]^2)^(3/2),x]

[Out]

-((Cosh[x]^2*Coth[x]*((8*(a + b)*Cosh[x]^2*HypergeometricPFQ[{2, 2, 2}, {1, 7/2}, -(((a + b)*Sinh[x]^2)/a)]*(I
*a*Tanh[x] + I*b*Tanh[x]^3)^2)/(15*a^3) - (8*(a + b)*Hypergeometric2F1[2, 2, 7/2, -(((a + b)*Sinh[x]^2)/a)]*Si
nh[x]^2*(2*a^2 + 5*a*b*Tanh[x]^2 + 3*b^2*Tanh[x]^4))/(15*a^3) - (Coth[x]^2*(3*a^2 + 12*a*b*Tanh[x]^2 + 8*b^2*T
anh[x]^4)*(ArcSin[Sqrt[-(((a + b)*Sinh[x]^2)/a)]]*(-a - b*Tanh[x]^2) + a*Sech[x]^2*Sqrt[-(((a + b)*Cosh[x]^2*S
inh[x]^2*(a + b*Tanh[x]^2))/a^2)]))/(a^2*(a + b)*Sqrt[-(((a + b)*Cosh[x]^2*Sinh[x]^2*(a + b*Tanh[x]^2))/a^2)])
))/(a*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]))

Maple [F]

\[\int \frac {\coth \left (x \right )^{2}}{\left (a +b \tanh \left (x \right )^{2}\right )^{\frac {3}{2}}}d x\]

[In]

int(coth(x)^2/(a+b*tanh(x)^2)^(3/2),x)

[Out]

int(coth(x)^2/(a+b*tanh(x)^2)^(3/2),x)

Fricas [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 1685 vs. \(2 (75) = 150\).

Time = 0.49 (sec) , antiderivative size = 3929, normalized size of antiderivative = 46.22 \[ \int \frac {\coth ^2(x)}{\left (a+b \tanh ^2(x)\right )^{3/2}} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate(coth(x)^2/(a+b*tanh(x)^2)^(3/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/4*(((a^3 + a^2*b)*cosh(x)^6 + 6*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)*sinh(x)^5 + (a^3 + a^2*b)*sinh(x)^6 + (a^3 - 3*a^2*b)
*cosh(x)^4 + (a^3 - 3*a^2*b + 15*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^3 + (a^3 - 3*
a^2*b)*cosh(x))*sinh(x)^3 - a^3 - a^2*b - (a^3 - 3*a^2*b)*cosh(x)^2 + (15*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^4 - a^3 + 3*a^
2*b + 6*(a^3 - 3*a^2*b)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 2*(3*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^5 + 2*(a^3 - 3*a^2*b)*cosh(x)^3 - (a
^3 - 3*a^2*b)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a + b)*log(-((a*b^2 + b^3)*cosh(x)^8 + 8*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)*sinh(x)^7
+ (a*b^2 + b^3)*sinh(x)^8 - 2*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^6 - 2*(a*b^2 + 2*b^3 - 14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(
x)^6 + 4*(14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 - 3*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x))*sinh(x)^5 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*
cosh(x)^4 + (70*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3 - 30*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x
)^4 + 4*(14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^5 - 10*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^3 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x))*
sinh(x)^3 + a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 + 2*(a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(x)^2 + 2*(14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^
6 - 15*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^4 + a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3 + 3*(a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x
)^2 + sqrt(2)*(b^2*cosh(x)^6 + 6*b^2*cosh(x)*sinh(x)^5 + b^2*sinh(x)^6 - 3*b^2*cosh(x)^4 + 3*(5*b^2*cosh(x)^2
- b^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*b^2*cosh(x)^3 - 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 - (a^2 - 2*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^2 + (15*b^2*c
osh(x)^4 - 18*b^2*cosh(x)^2 - a^2 + 2*a*b + 3*b^2)*sinh(x)^2 - a^2 - 2*a*b - b^2 + 2*(3*b^2*cosh(x)^5 - 6*b^2*
cosh(x)^3 - (a^2 - 2*a*b - 3*b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 +
a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(2*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^7 - 3*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)
^5 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x)^3 + (a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^6 + 6*cosh
(x)^5*sinh(x) + 15*cosh(x)^4*sinh(x)^2 + 20*cosh(x)^3*sinh(x)^3 + 15*cosh(x)^2*sinh(x)^4 + 6*cosh(x)*sinh(x)^5
+ sinh(x)^6)) + ((a^3 + a^2*b)*cosh(x)^6 + 6*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)*sinh(x)^5 + (a^3 + a^2*b)*sinh(x)^6 + (a^3
- 3*a^2*b)*cosh(x)^4 + (a^3 - 3*a^2*b + 15*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^3
+ (a^3 - 3*a^2*b)*cosh(x))*sinh(x)^3 - a^3 - a^2*b - (a^3 - 3*a^2*b)*cosh(x)^2 + (15*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^4 -
a^3 + 3*a^2*b + 6*(a^3 - 3*a^2*b)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 2*(3*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^5 + 2*(a^3 - 3*a^2*b)*cos
h(x)^3 - (a^3 - 3*a^2*b)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a + b)*log(((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 +
(a + b)*sinh(x)^4 + 2*a*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sin
h(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*
sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + a*cosh(x))*sinh(x) + a + b)/(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + si
nh(x)^2)) - 4*sqrt(2)*((a^3 + 3*a^2*b + 4*a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^4 + 4*(a^3 + 3*a^2*b + 4*a*b^2 + 2*b^3)*cosh(
x)*sinh(x)^3 + (a^3 + 3*a^2*b + 4*a*b^2 + 2*b^3)*sinh(x)^4 + a^3 + 3*a^2*b + 4*a*b^2 + 2*b^3 + 2*(a^3 + a^2*b
- 2*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(x)^2 + 2*(a^3 + a^2*b - 2*a*b^2 - 2*b^3 + 3*(a^3 + 3*a^2*b + 4*a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^
2)*sinh(x)^2 + 4*((a^3 + 3*a^2*b + 4*a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^3 + (a^3 + a^2*b - 2*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(x))*sinh(
x))*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/((a^5 +
3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*cosh(x)^6 + 6*(a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*cosh(x)*sinh(x)^5 + (a^5 +
3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*sinh(x)^6 - a^5 - 3*a^4*b - 3*a^3*b^2 - a^2*b^3 + (a^5 - a^4*b - 5*a^3*b^2 - 3
*a^2*b^3)*cosh(x)^4 + (a^5 - a^4*b - 5*a^3*b^2 - 3*a^2*b^3 + 15*(a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*cosh(x)^
2)*sinh(x)^4 + 4*(5*(a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*cosh(x)^3 + (a^5 - a^4*b - 5*a^3*b^2 - 3*a^2*b^3)*co
sh(x))*sinh(x)^3 - (a^5 - a^4*b - 5*a^3*b^2 - 3*a^2*b^3)*cosh(x)^2 - (a^5 - a^4*b - 5*a^3*b^2 - 3*a^2*b^3 - 15
*(a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*cosh(x)^4 - 6*(a^5 - a^4*b - 5*a^3*b^2 - 3*a^2*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^
2 + 2*(3*(a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*cosh(x)^5 + 2*(a^5 - a^4*b - 5*a^3*b^2 - 3*a^2*b^3)*cosh(x)^3 -
(a^5 - a^4*b - 5*a^3*b^2 - 3*a^2*b^3)*cosh(x))*sinh(x)), -1/2*(((a^3 + a^2*b)*cosh(x)^6 + 6*(a^3 + a^2*b)*cos
h(x)*sinh(x)^5 + (a^3 + a^2*b)*sinh(x)^6 + (a^3 - 3*a^2*b)*cosh(x)^4 + (a^3 - 3*a^2*b + 15*(a^3 + a^2*b)*cosh(
x)^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^3 + (a^3 - 3*a^2*b)*cosh(x))*sinh(x)^3 - a^3 - a^2*b - (a^3 - 3*a
^2*b)*cosh(x)^2 + (15*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^4 - a^3 + 3*a^2*b + 6*(a^3 - 3*a^2*b)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 2*(3*
(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^5 + 2*(a^3 - 3*a^2*b)*cosh(x)^3 - (a^3 - 3*a^2*b)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a - b)*arctan(
sqrt(2)*(b*cosh(x)^2 + 2*b*cosh(x)*sinh(x) + b*sinh(x)^2 - a - b)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a +
b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a*b + b^2)*cosh(x)^4 + 4*(a*b + b^2)*cosh
(x)*sinh(x)^3 + (a*b + b^2)*sinh(x)^4 + (a^2 - a*b - 2*b^2)*cosh(x)^2 + (6*(a*b + b^2)*cosh(x)^2 + a^2 - a*b -
2*b^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(2*(a*b + b^2)*cosh(x)^3 + (a^2 - a*b - 2*b^2)*cosh(x))*sinh(x))) +
((a^3 + a^2*b)*cosh(x)^6 + 6*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)*sinh(x)^5 + (a^3 + a^2*b)*sinh(x)^6 + (a^3 - 3*a^2*b)*cosh(
x)^4 + (a^3 - 3*a^2*b + 15*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^3 + (a^3 - 3*a^2*b)
*cosh(x))*sinh(x)^3 - a^3 - a^2*b - (a^3 - 3*a^2*b)*cosh(x)^2 + (15*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^4 - a^3 + 3*a^2*b +
6*(a^3 - 3*a^2*b)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 2*(3*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^5 + 2*(a^3 - 3*a^2*b)*cosh(x)^3 - (a^3 - 3
*a^2*b)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(-a
- b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a + b
)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 +
a - b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a - b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)) + 2*sqrt(2)*((a^3 + 3*a^2*b + 4*
a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^4 + 4*(a^3 + 3*a^2*b + 4*a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^3 + 3*a^2*b + 4*a*b^2 +
2*b^3)*sinh(x)^4 + a^3 + 3*a^2*b + 4*a*b^2 + 2*b^3 + 2*(a^3 + a^2*b - 2*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(x)^2 + 2*(a^3 + a^
2*b - 2*a*b^2 - 2*b^3 + 3*(a^3 + 3*a^2*b + 4*a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((a^3 + 3*a^2*b + 4*a*b^2
+ 2*b^3)*cosh(x)^3 + (a^3 + a^2*b - 2*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh
(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/((a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*cosh(x)^6
+ 6*(a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*cosh(x)*sinh(x)^5 + (a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*sinh(x)^6
- a^5 - 3*a^4*b - 3*a^3*b^2 - a^2*b^3 + (a^5 - a^4*b - 5*a^3*b^2 - 3*a^2*b^3)*cosh(x)^4 + (a^5 - a^4*b - 5*a^3
*b^2 - 3*a^2*b^3 + 15*(a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*(a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3
*b^2 + a^2*b^3)*cosh(x)^3 + (a^5 - a^4*b - 5*a^3*b^2 - 3*a^2*b^3)*cosh(x))*sinh(x)^3 - (a^5 - a^4*b - 5*a^3*b^
2 - 3*a^2*b^3)*cosh(x)^2 - (a^5 - a^4*b - 5*a^3*b^2 - 3*a^2*b^3 - 15*(a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*cos
h(x)^4 - 6*(a^5 - a^4*b - 5*a^3*b^2 - 3*a^2*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 2*(3*(a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*
b^3)*cosh(x)^5 + 2*(a^5 - a^4*b - 5*a^3*b^2 - 3*a^2*b^3)*cosh(x)^3 - (a^5 - a^4*b - 5*a^3*b^2 - 3*a^2*b^3)*cos
h(x))*sinh(x))]

Sympy [F]

\[ \int \frac {\coth ^2(x)}{\left (a+b \tanh ^2(x)\right )^{3/2}} \, dx=\int \frac {\coth ^{2}{\left (x \right )}}{\left (a + b \tanh ^{2}{\left (x \right )}\right )^{\frac {3}{2}}}\, dx \]

[In]

integrate(coth(x)**2/(a+b*tanh(x)**2)**(3/2),x)

[Out]

Integral(coth(x)**2/(a + b*tanh(x)**2)**(3/2), x)

Maxima [F]

\[ \int \frac {\coth ^2(x)}{\left (a+b \tanh ^2(x)\right )^{3/2}} \, dx=\int { \frac {\coth \left (x\right )^{2}}{{\left (b \tanh \left (x\right )^{2} + a\right )}^{\frac {3}{2}}} \,d x } \]

[In]

integrate(coth(x)^2/(a+b*tanh(x)^2)^(3/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(coth(x)^2/(b*tanh(x)^2 + a)^(3/2), x)

Giac [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 459 vs. \(2 (75) = 150\).

Time = 0.57 (sec) , antiderivative size = 459, normalized size of antiderivative = 5.40 \[ \int \frac {\coth ^2(x)}{\left (a+b \tanh ^2(x)\right )^{3/2}} \, dx=-\frac {\frac {{\left (a^{2} b^{3} + a b^{4}\right )} e^{\left (2 \, x\right )}}{a^{5} b + 2 \, a^{4} b^{2} + a^{3} b^{3}} - \frac {a^{2} b^{3} + a b^{4}}{a^{5} b + 2 \, a^{4} b^{2} + a^{3} b^{3}}}{\sqrt {a e^{\left (4 \, x\right )} + b e^{\left (4 \, x\right )} + 2 \, a e^{\left (2 \, x\right )} - 2 \, b e^{\left (2 \, x\right )} + a + b}} - \frac {\log \left ({\left | -{\left (\sqrt {a + b} e^{\left (2 \, x\right )} - \sqrt {a e^{\left (4 \, x\right )} + b e^{\left (4 \, x\right )} + 2 \, a e^{\left (2 \, x\right )} - 2 \, b e^{\left (2 \, x\right )} + a + b}\right )} {\left (a + b\right )} - \sqrt {a + b} {\left (a - b\right )} \right |}\right )}{2 \, {\left (a + b\right )}^{\frac {3}{2}}} - \frac {\log \left ({\left | -\sqrt {a + b} e^{\left (2 \, x\right )} + \sqrt {a e^{\left (4 \, x\right )} + b e^{\left (4 \, x\right )} + 2 \, a e^{\left (2 \, x\right )} - 2 \, b e^{\left (2 \, x\right )} + a + b} + \sqrt {a + b} \right |}\right )}{2 \, {\left (a + b\right )}^{\frac {3}{2}}} + \frac {\log \left ({\left | -\sqrt {a + b} e^{\left (2 \, x\right )} + \sqrt {a e^{\left (4 \, x\right )} + b e^{\left (4 \, x\right )} + 2 \, a e^{\left (2 \, x\right )} - 2 \, b e^{\left (2 \, x\right )} + a + b} - \sqrt {a + b} \right |}\right )}{2 \, {\left (a + b\right )}^{\frac {3}{2}}} + \frac {4 \, {\left (\sqrt {a + b} e^{\left (2 \, x\right )} - \sqrt {a e^{\left (4 \, x\right )} + b e^{\left (4 \, x\right )} + 2 \, a e^{\left (2 \, x\right )} - 2 \, b e^{\left (2 \, x\right )} + a + b} + \sqrt {a + b}\right )}}{{\left ({\left (\sqrt {a + b} e^{\left (2 \, x\right )} - \sqrt {a e^{\left (4 \, x\right )} + b e^{\left (4 \, x\right )} + 2 \, a e^{\left (2 \, x\right )} - 2 \, b e^{\left (2 \, x\right )} + a + b}\right )}^{2} - 2 \, {\left (\sqrt {a + b} e^{\left (2 \, x\right )} - \sqrt {a e^{\left (4 \, x\right )} + b e^{\left (4 \, x\right )} + 2 \, a e^{\left (2 \, x\right )} - 2 \, b e^{\left (2 \, x\right )} + a + b}\right )} \sqrt {a + b} - 3 \, a + b\right )} a} \]

[In]

integrate(coth(x)^2/(a+b*tanh(x)^2)^(3/2),x, algorithm="giac")

[Out]

-((a^2*b^3 + a*b^4)*e^(2*x)/(a^5*b + 2*a^4*b^2 + a^3*b^3) - (a^2*b^3 + a*b^4)/(a^5*b + 2*a^4*b^2 + a^3*b^3))/s
qrt(a*e^(4*x) + b*e^(4*x) + 2*a*e^(2*x) - 2*b*e^(2*x) + a + b) - 1/2*log(abs(-(sqrt(a + b)*e^(2*x) - sqrt(a*e^
(4*x) + b*e^(4*x) + 2*a*e^(2*x) - 2*b*e^(2*x) + a + b))*(a + b) - sqrt(a + b)*(a - b)))/(a + b)^(3/2) - 1/2*lo
g(abs(-sqrt(a + b)*e^(2*x) + sqrt(a*e^(4*x) + b*e^(4*x) + 2*a*e^(2*x) - 2*b*e^(2*x) + a + b) + sqrt(a + b)))/(
a + b)^(3/2) + 1/2*log(abs(-sqrt(a + b)*e^(2*x) + sqrt(a*e^(4*x) + b*e^(4*x) + 2*a*e^(2*x) - 2*b*e^(2*x) + a +
b) - sqrt(a + b)))/(a + b)^(3/2) + 4*(sqrt(a + b)*e^(2*x) - sqrt(a*e^(4*x) + b*e^(4*x) + 2*a*e^(2*x) - 2*b*e^
(2*x) + a + b) + sqrt(a + b))/(((sqrt(a + b)*e^(2*x) - sqrt(a*e^(4*x) + b*e^(4*x) + 2*a*e^(2*x) - 2*b*e^(2*x)
+ a + b))^2 - 2*(sqrt(a + b)*e^(2*x) - sqrt(a*e^(4*x) + b*e^(4*x) + 2*a*e^(2*x) - 2*b*e^(2*x) + a + b))*sqrt(a
+ b) - 3*a + b)*a)

Mupad [F(-1)]

Timed out. \[ \int \frac {\coth ^2(x)}{\left (a+b \tanh ^2(x)\right )^{3/2}} \, dx=\int \frac {{\mathrm {coth}\left (x\right )}^2}{{\left (b\,{\mathrm {tanh}\left (x\right )}^2+a\right )}^{3/2}} \,d x \]

[In]

int(coth(x)^2/(a + b*tanh(x)^2)^(3/2),x)

[Out]

int(coth(x)^2/(a + b*tanh(x)^2)^(3/2), x)